תוכן העניינים
\(\:\)עקרונות מנחים לכתיבת פקודותMacros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"
- כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
- כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
- הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
- על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות. - כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
- לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKind}{\text{Ind}}\)אינדקס ליפוף. מרוכבות.
\(\newcommand{\MKres}{\text{Res}}\)שארית (residue). מרוכבות.
\(\:\)אינפי', יריעות ופונקציונלית\(\:\)
\(\newcommand{\MKarsinh}{\text{arsinh}}\)סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKarcosh}{\text{arcosh}}\)קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKartanh}{\text{artanh}}\)טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKar}{\text{ar}}\)יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.
\(\newcommand{\MKclos}{\text{Cl}}\)סגור (closure). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiam}{\text{diam}}\)קוטר (diameter). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiv}{\text{div}}\)דיברגנץ (divergence). יריעות.
\(\newcommand{\MKext}{\text{Ext}}\)חוץ (exterior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKint}{\text{Int}}\)פנים (interior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKop}{\text{op}}\)נורמה אופרטורית. אינפי'.
\(\newcommand{\MKvol}{\text{Vol}}\)נפח של קבוצה (volume). יריעות.
\(\newcommand{\MKsupp}{\text{Supp}}\)התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.
\(\:\)אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים\(\:\)
\(\newcommand{\MKadj}{\text{adj}}\)המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.
\(\newcommand{\MKaut}{\text{Aut}}\)חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.
\(\newcommand{\MKchar}{\text{char}}\)המציין של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKcor}{\text{Core}}\)הליבה של חבורה (core). מבנים.
\(\newcommand{\MKend}{\text{End}}\)קבוצת האנדומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKfix}{\text{Fix}}\)קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.
\(\newcommand{\MKgal}{\text{Gal}}\)חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.
\(\newcommand{\MKgl}{\text{GL}}\)חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.
\(\newcommand{\MKhom}{\text{Hom}}\)קבוצת ההומומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKinn}{\text{Inn}}\)חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.
\(\newcommand{\MKnull}{\text{null}}\)דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKorth}{\text{O}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות.
\(\newcommand{\MKout}{\text{Out}}\)חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.
\(\newcommand{\MKrank}{\text{rk}}\)דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKsep}{\text{sep}}\)משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKsl}{\text{SL}}\)חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה\(1\). ליניארית ומבנים.
\(\newcommand{\MKso}{\text{SO}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKsu}{\text{SU}}\)חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKspan}{\text{span}}\)פרוש. ליניארית.
\(\newcommand{\MKtrace}{\text{tr}}\)עקבה (trace). ליניארית.
\(\:\)תורת הקבוצות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcupdot}{\mathbin{\cupdot}}\)איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\mathbin{\bigcupdot}}\)איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdom}{\text{dom}}\)תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.
\(\newcommand{\MKrng}{\text{rng}}\)הטווח של פונקציה (range). קבוצות.
\(\renewcommand{\MKim}{\text{Im}}\)תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.
\(\newcommand{\MKsequ}{\text{Seq}}\)קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.
\(\:\)תורת ההסתברות\(\:\)
\(\newcommand{\MKalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{=}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKsmallalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\leq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKgreatalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\geq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKvar}{\text{Var}}\)שונות (variance).
\(\newcommand{\MKcovar}{\text{Cov}}\)שונות (co-variance).
\(\newcommand{\MKdist}{\overset{\text{d}}{=}}\)שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.
\(\newcommand{\MKber}{\text{Ber}}\)התפלגות ברנולי.
\(\newcommand{\MKunif}{\text{Unif}}\)התפלגות אחידה.
\(\newcommand{\MKgeo}{\text{Geo}}\)התפלגות גאומטרית.
\(\newcommand{\MKbin}{\text{Bin}}\)התפלגות בינומית.
\(\newcommand{\MKpoi}{\text{Poi}}\)התפלגות פואסון.
\(\newcommand{\MKhypergeo}{\text{HG}}\)התפלגות היפר-גאומטרית.
\(\:\)שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKnotequiv}{\not\equiv}\)
\(\newcommand{\MKtickmark}{\textcolor{green}{\checkmark}}\)
\(\newcommand{\MKxmark}{{\color{red}\boldsymbol{\times}}}\)
\(\:\)מדעי המחשב\(\:\)
\(\newcommand{\MKdin}{d_{\text{in}}}\)דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKdout}{d_{\text{out}}}\)דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKfalse}{\text{False}}\)ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\renewcommand{\MKnull}{\text{null}}\)ערךnull. דאסט.
\(\newcommand{\MKtrue}{\text{True}}\)ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\:\)פיזיקה\(\:\)
\(\newcommand{\MKtot}{\text{tot}}\)קיצור שלtotal, מכניקה.
\(\renewcommand{\MKext}{\text{ext}}\)קיצור שלexternal, מכניקה.
\(\newcommand{\MKconst}{\text{Const}}\)קיצור שלconstant, מכניקה.
\(\newcommand{\MKeff}{\text{eff}}\)קיצור שלeffective, מכניקה.
\(\:\)מספרים שלמים\(\:\)
\(\newcommand{\MKeven}{\text{Even}}\)קבוצת הזוגיים
\(\newcommand{\MKodd}{\text{Odd}}\)קבוצת האי-זוגיים
\(\newcommand{\MKprime}{\text{Prime}}\)קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.
\(\:\)פונקציות שונות\(\:\)
\(\newcommand{\MKid}{\text{Id}}\)פונקציית הזהות.
\(\newcommand{\MKlcm}{\text{lcm}}\)כפולה משותפת מינימלית
\(\newcommand{\MKord}{\text{Ord}}\)סדר (order). תורת המספרים.
\(\newcommand{\MKsign}{\text{sgn}}\)פונקציית הסימן
\(\:\)גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)גופןmathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKbba}{\mathbb{A}}\)
\(\newcommand{\MKbbb}{\mathbb{B}}\)
\(\newcommand{\MKcomplex}{\mathbb{C}}\)המספרים המרוכבים
\(\newcommand{\MKbbd}{\mathbb{D}}\)
\(\newcommand{\MKbbe}{\mathbb{E}}\)
\(\newcommand{\MKfield}{\mathbb{F}}\)שדה
\(\newcommand{\MKbbg}{\mathbb{G}}\)
\(\newcommand{\MKbbh}{\mathbb{H}}\)
\(\newcommand{\MKbbi}{\mathbb{I}}\)
\(\newcommand{\MKbbj}{\mathbb{J}}\)
\(\newcommand{\MKbbk}{\mathbb{K}}\)
\(\newcommand{\MKbbl}{\mathbb{L}}\)
\(\newcommand{\MKbbm}{\mathbb{M}}\)
\(\newcommand{\MKnatural}{\mathbb{N}}\)המספרים הטבעיים
\(\newcommand{\MKbbo}{\mathbb{O}}\)
\(\newcommand{\MKbbp}{\mathbb{P}}\)
\(\newcommand{\MKrational}{\mathbb{Q}}\)המספרים הרציונליים
\(\newcommand{\MKreal}{\mathbb{R}}\)המספרים הממשיים
\(\newcommand{\MKbbs}{\mathbb{S}}\)
\(\newcommand{\MKbbt}{\mathbb{T}}\)
\(\newcommand{\MKbbu}{\mathbb{U}}\)
\(\newcommand{\MKbbv}{\mathbb{V}}\)
\(\newcommand{\MKbbw}{\mathbb{W}}\)
\(\newcommand{\MKbbx}{\mathbb{X}}\)
\(\newcommand{\MKbby}{\mathbb{Y}}\)
\(\newcommand{\MKinteger}{\mathbb{Z}}\)המספרים השלמים
\(\newcommand{\MKindicator}{\mathds{1}}\)פונקציה מציינת - אינדיקטור
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 התחלה
1.1 הגדרות
- תזכורת:
- באינפי'3הגדרנו מסילה כפונקציה רציפה \(\gamma:I\rightarrow\MKbbx\) כאשר \(I\subseteq\MKreal\) הוא מקטע (בד"כ קטע סגור) ו-\(\MKbbx\) הוא מרחב מטרי, ואמרנו שפונקציה \(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{n}\) היא חלקה אם היא גזירה מכל סדר1עבור מסילות שתחום ההגדרה שלהן כולל קצה/קצוות של הקטע/הקרן נדרוש גם גזירות חד-צדדית בקצוות מכל סדר..
- \(\clubsuit\)
- בניגוד לשלושת קורסי אינפי' שלמדנו עד כה, בקורס זה לא נבקש לנסח משפטים עם התנאים המינימליים הדרושים לכך שיתקיימו אלא נקל על עצמנו ונדרוש שכל הפונקציות שנעסוק בהן תהיינה חלקות.
- תזכורת:
- פרמטריזציה של קבוצה \(S\subseteq\MKreal^{n}\) היא מסילה \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(\gamma^{*}=S\) (\(\gamma^{*}:=\MKim\varphi\) - זהו סימון מקובל לתמונה של מסילה).
- \(\clubsuit\)
- בקורס זה לא המסילות עצמן הן שיעניינו אותנו אלא תמונותיהן שעליהן נבצע אנליזה (אינטגרלים, נגזרות וכו').
- \(\clubsuit\)
- אם \(\mu=\gamma\circ\phi\) אז \(\gamma\) בהכרח חלקה גם היא.
- \(\clubsuit\)
- מהגדרה \(\phi\) כזו היא דיפאומורפיזם בין \(\left[a,b\right]\) ל-\(\left[c,d\right]\) ולכן גם \(\gamma\) מתקבלת מ-\(\mu\) ע"י רה-פרמטריזציה (\(\mu\circ\phi^{-1}=\gamma\)).
בנוסף, כמובן שכל מסילה מתקבלת מעצמה ע"י רה-פרמטריזציה (\(\gamma=\gamma\circ\MKid\)); ואם מסילה \(\gamma_{3}\) מתקבלת ממסילה \(\gamma_{2}\) ע"י רה-פרמטריזציה \(\phi\), ו-\(\gamma_{2}\) מתקבלת מ-\(\gamma_{1}\) ע"י רה-פרמטריזציה \(\varphi\), אז \(\gamma_{3}\) מתקבלת מ-\(\gamma_{1}\) ע"י רה-פרמטריזציה (\(\gamma_{3}=\gamma_{2}\circ\phi=\gamma_{1}\circ\left(\varphi\circ\phi\right)\)). מכאן שרה-פרמטריזציה היא יחס שקילות על כל המסילות החלקות מקטעים סגורים ב-\(\MKreal\) שתמונתן זהה והן בעלות נקודות קצה2נקודות הקצה של מסילה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) הן \(\gamma\left(a\right)\) ו-\(\gamma\left(b\right)\), הנקודה הראשונה היא נקודת ההתחלה והשנייה היא נקודת הסיום. זהות. - \(\clubsuit\)
- נזכור שמה שמעניין אותנו הוא אנליזה על תמונות המסילות ולכן נרצה שהאנליזה שלנו לא תהיה תלויה במסילה המהווה את הפרמטריזציה של הקבוצה המבוקשת, כלומר נרצה שהאנליזה תישאר זהה לכל שתי מסילות המתקבלות זו מזו ע"י רה-פרמטריזציה.
- \(\clubsuit\)
- הגדרה זו באה למנוע מצב שבו המסילה אמנם חלקה אך תמונתה אינה "חלקה"3שימו לב לכך שלא הגדרנו עדיין מתי קבוצה היא חלקה, אנו מדברים כאן רק על האינטואיציה להיותה של קבוצה חלקה., נביא לכך דוגמה.
תהא \(\gamma:\left[-1,1\right]\rightarrow\MKreal^{2}\) מסילה המוגדרת ע"י (לכל \(t\in\left[-1,1\right]\)):\[ \gamma\left(t\right):=\begin{cases} \left(-e^{-\frac{1}{t^{2}}},e^{-\frac{1}{t^{2}}}\right) & t<0\\ \left(0,0\right) & t=0\\ \left(e^{-\frac{1}{t^{2}}},e^{-\frac{1}{t^{2}}}\right) & t>0 \end{cases} \]אנחנו יודעים שזוהי מסילה חלקה4כי ראינו באינפי'2את הפונקציה \(x\mapsto e^{-\frac{1}{x^{2}}}\) (כשהתמונה של \(0\) היא \(0\)) ואז הוכחנו שהיא גזירה מכל סדר ב-\(0\) וכל הנגזרות שלה ב-\(0\) מתאפסות., אך תמונתה היא הקבוצה \(\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x\in\left[-e^{-1},e^{-1}\right],\ y=\left|x\right|\right\} \), כלומר הגרף של פונקציית הערך המוחלט בקטע \(\left[-e^{-1},e^{-1}\right]\) הכולל את \(0\) שהיא נקודת "שפיץ". - \(\clubsuit\)
- משתי המסקנות שראינו נובע שהישר המשיק ומשיק היחידה אינם תלויים בפרמטריזציה.
- \(\clubsuit\)
- בקובץ ההגדרות הגדרנו מסילה רגולרית כדי להימנע ממצב שבו מסילה נתונה היא אכן חלקה אך תמונתה אינה כזו. כמו כן הבאנו שם דוגמה למסילה חלקה שאינה רגולרית ותמונתה אינה "חלקה" (מבחינה אינטואיטיבית), אך לא הראינו שהתמונה של כל מסילה רגולרית היא אכן "חלקה".
- \(\clubsuit\)
- כלומר \(\gamma^{*}\) נראית כמו גרף של פונקציה חלקה בסביבת \(\gamma\left(t\right)\), זהו האפיון הכי ברור לכך ש-\(\gamma^{*}\) "חלקה" בסביבה זו.
הגדרה 1.1. תהיינה \(V,U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצות פתוחות, העתקה \(\phi:V\rightarrow U\) תיקרא דיפאומורפיזם בין \(V\) ל-\(U\) אם היא חלקה, הפיכה, ההופכית שלה חלקה, ונגזרותיהן הפיכות בכל נקודה.
הגדרה 1.2. נאמר שמסילה חלקה \(\mu:\left[c,d\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מתקבלת ממסילה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) ע"י רה-פרמטריזציה אם קיימת פונקציה חלקה ועולה ממש \(\phi:\left[c,d\right]\rightarrow\left[a,b\right]\) כך ש-\(\phi\left(c\right)=a\) ו-\(\phi\left(d\right)=b\) המקיימת \(\mu=\gamma\circ\phi\), \(\phi\) כזו תיקרא רה-פרמטריזציה של \(\left[a,b\right]\).
מסקנה 1.3. תהיינה \(\mu:\left[c,d\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) ו-\(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילות חלקות כך ש-\(\mu\) מתקבלת מ-\(\gamma\) ע"י רה-פרמטריזציה \(\phi:\left[c,d\right]\rightarrow\left[a,b\right]\), לכל \(t\in\left[c,d\right]\) מתקיים \(\mu'\left(t\right)=\gamma'\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right)\) ומכאן שגם \(\MKspan\left(\mu'\left(t\right)\right)=\MKspan\left(\gamma'\left(\phi\left(t\right)\right)\right)\).
הגדרה 1.4. מסילה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) תיקרא רגולרית בנקודה \(t\in\left[a,b\right]\) אם \(\gamma'\left(t\right)\neq0\), ותיקרא רגולרית אם היא רגולרית בכל נקודה \(t\in\left[a,b\right]\).
מסקנה 1.5. תהיינה \(\mu:\left[c,d\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) ו-\(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילות חלקות כך ש-\(\mu\) מתקבלת מ-\(\gamma\) ע"י רה-פרמטריזציה \(\phi:\left[c,d\right]\rightarrow\left[a,b\right]\), \(\mu\) רגולרית בנקודה \(t\in\left[c,d\right]\) אם"ם \(\gamma\) רגולרית ב-\(\phi\left(t\right)\), ובמקרה כזה מתקיים:\[
\frac{\gamma'\left(\phi\left(t\right)\right)}{\left\Vert \gamma'\left(\phi\left(t\right)\right)\right\Vert }=\frac{\mu'\left(t\right)}{\left\Vert \mu'\left(t\right)\right\Vert }
\]
הגדרה 1.6. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה רגולרית בנקודה \(t\in\left[a,b\right]\), הישר המשיק ל-\(\gamma\) ב-\(\gamma\left(t\right)\) הוא \(\gamma\left(t\right)+\MKspan\left(\gamma'\left(t\right)\right)\), ו-\(\frac{\gamma'\left(t\right)}{\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert }\) ייקרא משיק היחידה ל-\(\gamma\) בנקודה \(\gamma\left(t\right)\).
משפט. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה, ותהא \(\varphi:\left[0,L\left[\gamma\right]\right]\rightarrow\left[a,b\right]\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\left[0,L\left[\gamma\right]\right]\)):\[
\varphi\left(x\right):=\intop_{0}^{x}\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt
\]\(\varphi\) היא רה-פרמטריזציה של \(\left[a,b\right]\), ולכל \(x\in\left[0,L\left[\gamma\right]\right]\) מתקיים \(\left\Vert \left(\gamma\circ\varphi\right)'\left(x\right)\right\Vert =1\).
הגדרה 1.7. בהינתן מסילה חלקה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\), \(\varphi\) המוגדרת שבמשפט שלעיל תיקרא הרה-פרמטריזציה של \(\gamma\) לפי אורך קשת5לא ברור לי שזהו הניסוח המדויק של המונח, ודבר זה נכון גם עבור השם של \(\overline{\gamma}\)להלן., ו-\(\overline{\gamma}:=\gamma\circ\varphi\) תיקרא הפרמטריזציה של \(\gamma^{*}\)6בדף התרגול נכתב כאן \(\gamma\) במקום \(\gamma^{*}\), זה נראה לי מוזר. לפי אורך קשת.
משפט 1.8. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה, ונניח ש-\(\gamma\) רגולרית בנקודה \(t\in\left[a,b\right]\), במקרה כזה קיימים:
- קטע סגור \(I\subseteq\left[a,b\right]\) כך ש-\(t\in I\)
- דיפאומורפיזם \(\phi:\left[c,d\right]\rightarrow I\)
- פונקציה חלקה \(h:\left[c,d\right]\rightarrow\MKreal^{n-1}\)
- העתקה ליניארית אורתוגונלית \(A:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\)
משפט 1.9. כך ש-\(\left(x,h\left(x\right)\right)=A\left(\left(\gamma\circ\phi\right)\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in\left[c,d\right]\).
\(\:\)
2 האינטגרל המסילתי
2.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- בהינתן עקומה במרחב \(\MKreal^{n}\) היינו רוצים להיות מסוגלים למדוד את אורכה, כמו כן בהינתן עקומה ב-\(\MKreal^{n}\) ופונקציה (רציפה) \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) היינו רוצים להיות מסוגלים לחשב את האינטגרל של \(f\) לאורך עקומה ב-\(\MKreal^{n}\)7ראו כאן המחשה לכך. - ממש כפי שחישבנו את האינטגרל שלה לאורך קטע סגור.
- תזכורת:
- בהינתן חלוקה \(P:=\left\{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{r}\right\} \) של קטע \(\left[a,b\right]\) סימנו את פרמטר החלוקה של \(P\) ע"י8בשיעור אור סימן את פרמטר החלוקה ב-\(\text{Mesh}\left(P\right)\).:\[ \lambda\left(P\right):=\max\left\{ \left|x_{i}-x_{i-1}\right|:r\geq i\in\MKnatural\right\} \]
- \(\clubsuit\)
- משמעות הגבול היא כמו באינפי'2: קיים \(L\in\MKreal\) כך שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל חלוקה \(P\) של \(\left[a,b\right]\) המקיימת \(\lambda\left(P\right)<\delta\) מתקיים \(\left|S_{\gamma}\left(P\right)-L\right|<\varepsilon\).
- \(\clubsuit\)
- גם כאן משמעות הגבול היא כמו באינפי'2: קיים \(L\in\MKreal\) כך שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל חלוקה \(P\) של \(\left[a,b\right]\) המקיימת \(\lambda\left(P\right)<\delta\), ולכל בחירת נקודות \(P^{*}\) עבור \(P\), מתקיים \(\left|S_{\gamma}\left(f,P,P^{*}\right)-L\right|<\varepsilon\).
- \(\clubsuit\)
- כלומר הפרמטריזציה אינה משפיע על האינטגרל של פונקציה לאורך עקומה, וכן אינה משפיע על אורך העקומה; א"כ מושגים אלו הוגדרו באופן הרצוי.
הגדרה 2.1. בהינתן מסילה חלקה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) וחלוקה \(P\) של \(\left[a,b\right]\), נסמן:\[
S_{\gamma}\left(P\right):=\sum_{i=1}^{r}\left\Vert \gamma\left(x_{i}\right)-\gamma\left(x_{i-1}\right)\right\Vert
\]כאשר \(P=\left\{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{r}\right\} \) ו-\(x_{i-1}<x_{i}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)9מהיות \(P\) חלוקה נובע ש-\(x_{0}=a\) ו-\(x_{r}=b\)., זהו סכום רימן של \(\gamma\) עבור החלוקה \(P\).
הגדרה 2.2. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה, נאמר ש-\(\gamma\) בעלת אורך אם קיים הגבול:\[
\lim_{\lambda\left(P\right)\rightarrow0}S_{\gamma}\left(P\right)
\]ובמקרה כזה נסמן אותו ב-\(L\left[\gamma\right]\) ונקרא ל-\(L\left[\gamma\right]\) האורך של \(\gamma\).
מסקנה 2.3. לכל מסילה חלקה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) בעלת אורך מתקיים:\[
L\left[\gamma\right]=\sup\left\{ S_{\gamma}\left(P\right)\mid\left[a,b\right]\ \text{היא חלוקה של}\ P\right\}
\]
הגדרה 2.4. תהיינה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה, \(P:=\left\{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{r}\right\} \) חלוקה של \(\left[a,b\right]\) כך ש-\(x_{i-1}<x_{i}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\), \(P^{*}:=\left\{ t_{1},t_{2},\ldots,t_{r}\right\} \) בחירת נקודות עבור \(P\)10כלומר \(t_{i}\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)., ו-\(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה. נסמן:\[
S_{\gamma}\left(f,P,P^{*}\right)=\sum_{i=1}^{r}f\left(\gamma\left(t_{i}\right)\right)\cdot\left\Vert \gamma\left(x_{i}\right)-\gamma\left(x_{i-1}\right)\right\Vert
\]זהו סכום רימן של \(f\) לאורך \(\gamma\) עבור החלוקה \(P\) ובחירת הנקודות \(P^{*}\).
הגדרה 2.5. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה ותהא \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה, האינטגרל המסילתי של \(f\) לאורך \(\gamma\) ביחס לפרמטר האורך11בוויקיפדיה אינטגרל זה נקרא "אינטגרל קווי מסוג ראשון". הוא:\[
\intop_{\gamma}f\ ds:=\lim_{\lambda\left(P\right)\rightarrow0}S_{\gamma}\left(f,P,P^{*}\right)
\]בהנחה שגבול זה אכן קיים.
מסקנה 2.6. לכל מסילה חלקה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) בעלת אורך מתקיים \(L\left[\gamma\right]=\intop_{\gamma}1\ ds\).
\(\:\)
משפט 2.7. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה בעלת אורך, ותהא \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה. האינטגרל \(\intop_{\gamma}f\ ds\) קיים, ומתקיים:\[
\intop_{\gamma}f\ ds=\intop_{a}^{b}f\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt
\]ובפרט:\[
L\left[\gamma\right]=\intop_{a}^{b}\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt
\]
מסקנה 2.8. תהיינה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) ו-\(\mu:\left[c,d\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילות חלקות המתקבלות זו מזו ע"י רה-פרמטריזציה, לכל פונקציה רציפה \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
\intop_{\gamma}f\ ds & =\intop_{\mu}f\ ds\\
L\left[\gamma\right] & =L\left[\mu\right]
\end{align*}\]
משפט 2.9. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה, ותהא \(\varphi:\left[0,L\left[\gamma\right]\right]\rightarrow\left[a,b\right]\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\left[0,L\left[\gamma\right]\right]\)):\[
\varphi\left(x\right):=\intop_{0}^{x}\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt
\]\(\varphi\) היא רה-פרמטריזציה של \(\left[a,b\right]\), ולכל \(x\in\left[0,L\left[\gamma\right]\right]\) מתקיים \(\left\Vert \left(\gamma\circ\varphi\right)'\left(x\right)\right\Vert =1\).
\(\:\)
3 האינטגרל הקווי
3.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- בסוף ההקדמה שלי לנושא "מרחבי מכפלה פנימית" (ליניארית2), הבאתי המחשה פיזיקלית כדי להסביר את האינטואיציה למכפלה פנימית, אביא אותה כאן שוב:אם אני מפעיל על גוף \(\boldsymbol{A}\) כוח קבוע \(\boldsymbol{{\color{orange}\vec{F}}}\) ובכך מזיז אותו מנקודה \(P\) לנקודה \(Q\), אז העבודה שביצעתי היא המכפלה הסקלרית \(\boldsymbol{{\color{orange}\vec{F}}\cdot{\color{green}\overrightarrow{PQ}}}\) (כאשר \(\boldsymbol{{\color{green}\overrightarrow{PQ}}}\) הוא וקטור ההעתק מ-\(P\) ל-\(Q\)). שימו לב - חלק מהכוח שהפעלתי לא תרם לכך שהגוף זז מפני שהוא מאונך לכיוון התנועה של הגוף \(\boldsymbol{A}\) (ראו באיור), כלומר המכפלה הסקלרית בדקה עד כמה "הצלחתי" להזיז את הגוף בכיוון הרצוי ע"י הכוח ועשתה זאת ע"י הטלת וקטור הכוח בכיוון של וקטור ההעתק וכפל באורכו של וקטור ההעתק.אני מקווה שגם מי שלא למד פיזיקה בתיכון קיבל רושם טוב ממה שהולך כאן, לא הייתה לי שום דרך להסביר זאת מבלי לערב מושגים פיזיקליים ולא במקרה...
filename C:/Users/sraya/Documents/HUJI/COMPLEX/3algebra/2linear algebra (2)/3inner product space/איורים/הקשר בין עבודה למכפלה הסקלרית.png
איור 1: העבודה היא המכפלה הסקלרית של וקטור הכוח בווקטור ההעתק - \(
- \) כל זה היה טוב ויפה אבל מה קורה כאשר אני מניע את הגוף ע"י כוח משתנה לאורך מסלול עקום? אז לא נוכל פשוט לכפול את הווקטורים מפני שאי אפשר לבטא את המסלול העקום והכוח המשתנה ע"י שני וקטורים בלבד.
- \(\clubsuit\)
- כדי לפתור את הבעיה נסתכל קודם על מקרה פשוט יותר: נניח שהייתי מניע את הגוף לאורך מסלול המורכב מקטעים ישרים, ובכל קטע בנפרד הייתי מפעיל על הגוף כוח קבוע (כלומר בתוך קטע אחד הכוח קבוע אך ייתכן שבשני קטעים שונים הפעלתי כוחות שונים). במקרה כזה היה ברור לכולנו שיש לבצע את החישוב הקודם בנפרד ולסכום את כל תוצאות החישוב, וזה בדיוק מה שנעשה כשנרצה לחשב את העובדה שביצע כוח משתנה לאורך מסלול עקום: נקרב את המסלול העקום ע"י קווים ישרים ובכל קטע נדגום בנקודה אחת את הכוח, וככל שהקטעים הישרים יקרבו טוב יותר את המסלול כך החישוב שלנו יהיה קרוב יותר לאמת, וכאשר ניקח גבול נקבל את התוצאה הרצויה.
- סימון:
- לפעמים, כשנרצה להדגיש שפונקציה \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\) היא שדה וקטורי, נסמן אותה ב-\(\vec{X}\).
- \(\clubsuit\)
- כאן השדה \(\vec{X}\) "מספר לנו" מהו הכוח שהופעל על הגוף בכל נקודה לאורך מסלול תנועתו, וההפרש בין ערכי המסילה מקרב את התנועה של הגוף באותה נקודה, לפיכך המכפלה הפנימית שלהם מקרבת את העבודה שבוצעה באותה נקודה וכשניקח גבול על סכומי רימן הנ"ל נקבל את העבודה שבוצעה על הגוף לאורך כל מסלול תנועתו.
- \(\clubsuit\)
- ההמחשה הכי טובה (שאני מכיר) למה שקורה כאן היא העבודה שמבצע שדה חשמלי על גוף בעל מטען חשמלי הנע במרחב שבו חל השדה החשמלי.
- \(\clubsuit\)
- אם \(\gamma\) היא מסילה רגולרית וחח"ע, נוכל להגדיר פונקציה \(\vec{T}:\gamma^{*}\rightarrow\MKreal^{n}\) כך שלכל \(t\in\left[a,b\right]\) יתקיים \(\vec{T}\left(\gamma\left(t\right)\right)=\frac{\gamma'\left(t\right)}{\left\Vert \gamma\left(t\right)\right\Vert }\), ואם נצליח להגדיר גם פונקציה רציפה \(h:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) כך שלכל \(p\in\gamma^{*}\) מתקיים \(h\left(p\right)=\vec{X}\left(p\right)\cdot\vec{T}\left(p\right)\), אז נקבל:\[ \intop_{\gamma}\vec{X}\cdot d\vec{\ell}=\intop_{a}^{b}\vec{X}\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\gamma'\left(t\right)dt=\intop_{a}^{b}\vec{X}\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\frac{\gamma'\left(t\right)}{\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert }\cdot\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt=\intop_{a}^{b}h\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt=\intop_{\gamma}h\ ds \]ולהפך: אם נתונה פונקציה רציפה \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) נוכל לנסות להגדיר שדה וקטורי \(\vec{F}:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{n}\)כך שלכל \(p\in\gamma^{*}\) מתקיים \(\vec{F}\left(p\right)\cdot\vec{T}\left(p\right)=f\left(p\right)\), ואז נקבל:\[ \intop_{\gamma}f\ ds=\intop_{a}^{b}f\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt=\intop_{a}^{b}\vec{F}\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\frac{\gamma'\left(t\right)}{\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert }\cdot\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert dt=\intop_{a}^{b}\vec{F}\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\gamma'\left(t\right)dt=\intop_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{\ell} \]
- \(\clubsuit\)
- כלומר הפרמטריזציה אינה משפיע על האינטגרל של פונקציה לאורך עקומה, וכן אינה משפיע על אורך העקומה; א"כ מושגים אלו הוגדרו באופן הרצוי.
הגדרה 3.1. תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\) קבוצה פתוחה, שדה וקטורי על \(U\) הוא פונקציה חלקה \(X:U\rightarrow\MKreal^{n}\).
הגדרה 3.2. תהיינה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה, \(P:=\left\{ x_{0},x_{1},\ldots,x_{r}\right\} \) חלוקה של \(\left[a,b\right]\) כך ש-\(x_{i-1}<x_{i}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ו-\(P^{*}:=\left\{ t_{1},t_{2},\ldots,t_{r}\right\} \) בחירת נקודות עבור \(P\), ויהי \(\vec{X}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי. נסמן12כאן סימן הכפל מתייחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית - \(x\cdot y=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\).:\[
S_{\gamma}\left(\vec{X},P,P^{*}\right)=\sum_{i=1}^{r}\vec{X}\left(\gamma\left(t_{i}\right)\right)\cdot\left(\gamma\left(x_{i}\right)-\gamma\left(x_{i-1}\right)\right)
\]זהו סכום רימן של \(\vec{X}\) לאורך \(\gamma\) עבור החלוקה \(P\) ובחירת הנקודות \(P^{*}\).
הגדרה 3.3. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה ויהי \(\vec{X}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי, האינטגרל הקווי של \(\vec{X}\) לאורך \(\gamma\)13בוויקיפדיה אינטגרל זה נקרא "אינטגרל קווי מסוג שני". הוא:\[
\intop_{\gamma}\vec{X}\cdot d\vec{\ell}:=\intop_{\gamma}\vec{X}\cdot d\gamma:=\lim_{\lambda\left(P\right)\rightarrow0}S_{\gamma}\left(f,P,P^{*}\right)
\]בהנחה שגבול זה אכן קיים.
משפט 3.4. תהא \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה חלקה בעלת אורך, ויהי \(\vec{X}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי. האינטגרל \(\intop_{\gamma}\vec{X}\cdot d\vec{\ell}\) קיים, ומתקיים:\[
\intop_{\gamma}\vec{X}\cdot d\vec{\ell}=\intop_{a}^{b}\vec{X}\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\gamma'\left(t\right)dt
\]
מסקנה 3.5. תהיינה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) ו-\(\mu:\left[c,d\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילות חלקות המתקבלות זו מזו ע"י רה-פרמטריזציה, לכל שדה וקטורי \(\vec{X}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) מתקיים:\[
\intop_{\gamma}\vec{X}\cdot d\vec{\ell}=\intop_{\mu}\vec{X}\cdot d\vec{\ell}
\]
4 שדות משמרים
4.1 הגדרות
הגדרה 4.1. שדה וקטורי \(\vec{F}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) ייקרא משמר אם לכל שתי מסילות חלקות \(\gamma_{1},\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow U\) מתקיים:\[
\intop_{\gamma_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}=\intop_{\gamma_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}
\]
- \(\clubsuit\)
- כלומר שדה משמר הוא שדה וקטורי שהאינטגרל הקווי שלו תלוי אך ורק בנקודות הקצה של העקומה ולא בעקומה המסוימת שמחברת בין נקודות אלו.
- \(\clubsuit\)
- כלומר לכל \(s\in\left[0,1\right]\) הפונקציה \(t\mapsto H\left(t,s\right)\) היא מסילה חלקה בעלת נקודות קצה זהות לאלה של \(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\), ובנוסף הפונקציה \(t\mapsto H\left(t,0\right)\) היא \(\gamma_{0}\) והפונקציה \(t\mapsto H\left(t,1\right)\) היא \(\gamma_{1}\).
א"כ ניתן "לעוות" את \(\gamma_{0}\) באופן רציף ומבלי "לחתוך" אותה עד לקבלת \(\gamma_{1}\), וזאת אך ורק תוך מעבר ב-\(U\) (ראו כאן המחשה). - \(\clubsuit\)
- הומוטופיה בתוך קבוצה נתונה היא יחס שקילות.
- \(\clubsuit\)
- הדוגמה הקלאסית של הומוטופיה היא הפונקציה \(\left(t,s\right)\mapsto\gamma_{0}\left(t\right)\cdot\left(1-s\right)+\gamma_{1}\left(t\right)\cdot s\), זהו הצירוף הקמור של \(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) ושם זה ניתן לו מפני שכדי שהומוטופיה כזו תעבוד בהכרח על הקבוצה \(U\) להיות קמורה.
- \(\clubsuit\)
- הרעיון הוא שאין ב-\(U\) "חורים" - לו היו כאלה היינו יכולים לחבר בין שתי נקודות הנמצאות בצדדים מנוגדים של אחד החורים ע"י שתי מסילות, כאשר כל אחת מהן מקיפה את החור מכיוון אחר ולכן הן לא היו הומוטופיות זו לזו.
- \(\clubsuit\)
- כל קבוצה קמורה, ובפרט כל כדור פתוח, היא קבוצה פשוטת קשר.
- \(\clubsuit\)
- \(\phi\) כנ"ל נקראת פוטנציאל של \(\vec{F}\), כמובן שאין ל-\(\vec{F}\) פוטנציאל יחיד - כל הוספת קבוע ל-\(\phi\) תיתן פוטנציאל נוסף (בהמשך נראה שאלו כל הפוטנציאלים של \(\vec{F}\)).
- \(\clubsuit\)
- במובן מסוים פוטנציאל של שדה משמר הוא פונקציה קדומה שלו.
- תזכורת:
- בהינתן פונקציה \(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{n}\) הגדרנו את הפונקציות \(f_{1},f_{2},\ldots,f_{n}\) מ-\(\MKreal^{k}\) ל-\(\MKreal\) כך שלכל \(x\in\MKreal^{k}\) יתקיים:\[ f\left(x\right)=\begin{bmatrix}f_{1}\left(x\right)\\ f_{2}\left(x\right)\\ \vdots\\ f_{n}\left(x\right) \end{bmatrix} \]
- \(\clubsuit\)
- החלק האחרון של המסקנה הוא הסיבה לכך ששדה וקטורי כנ"ל נקרא משמר מקומית.
הגדרה 4.2. תהא \(U\subseteq\MKreal^{n}\)14האם יש צורך ש-\(U\) תהיה פתוחה?, תהיינה \(\gamma_{0},\gamma_{1}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) שתי מסילות חלקות בעלות נקודות קצה זהות, כלומר \(\gamma_{0}\left(a\right)=\gamma_{1}\left(a\right)\) ו-\(\gamma_{0}\left(b\right)=\gamma_{1}\left(b\right)\).
נאמר ש-\(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) הומוטופיות ב-\(U\) ביחס לנקודות קצה אם קיימת פונקציה חלקה \(H:\left[a,b\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) כך שלכל \(t\in\left[a,b\right]\) ולכל \(s\in\left[0,1\right]\) מתקיים:\[\begin{align*} H\left(t,0\right) & =\gamma_{0}\left(t\right) & H\left(a,s\right) & =\gamma_{0}\left(a\right)=\gamma_{1}\left(a\right)\\ H\left(t,1\right) & =\gamma_{1}\left(t\right) & H\left(b,s\right) & =\gamma_{0}\left(b\right)=\gamma_{1}\left(b\right) \end{align*}\]\(H\) כנ"ל תיקרא הומוטופיה בין \(\gamma_{0}\) ל-\(\gamma_{1}\).
נאמר ש-\(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) הומוטופיות ב-\(U\) ביחס לנקודות קצה אם קיימת פונקציה חלקה \(H:\left[a,b\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow\MKreal^{n}\) כך שלכל \(t\in\left[a,b\right]\) ולכל \(s\in\left[0,1\right]\) מתקיים:\[\begin{align*} H\left(t,0\right) & =\gamma_{0}\left(t\right) & H\left(a,s\right) & =\gamma_{0}\left(a\right)=\gamma_{1}\left(a\right)\\ H\left(t,1\right) & =\gamma_{1}\left(t\right) & H\left(b,s\right) & =\gamma_{0}\left(b\right)=\gamma_{1}\left(b\right) \end{align*}\]\(H\) כנ"ל תיקרא הומוטופיה בין \(\gamma_{0}\) ל-\(\gamma_{1}\).
הגדרה 4.3. נאמר שקבוצה קשירה מסילתית \(U\subseteq\MKreal^{n}\)15האם יש צורך ש-\(U\) תהיה פתוחה? היא פשוטת קשר אם לכל שתי מסילות \(\gamma_{0},\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow U\) בעלות נקודות קצה זהות - \(\gamma_{0}\) ו-\(\gamma_{1}\) הומוטופיות זו לזו ביחס לנקודות קצה.
מסקנה 4.4. קבוצה קשירה מסילתית \(U\subseteq\MKreal^{n}\) היא פשוטת קשר אם"ם כל מסילה סגורה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow U\) הומוטופית (ביחס לנקודות קצה) למסילה קבועה בתוך \(U\).
הגדרה 4.5. שדה וקטורי \(\vec{F}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) ייקרא משמר מקומית אם מתקיים (לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\)):\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}}
\]
כמובן שהייתי שמח להגדיר שדה משמר מקומית ככזה שעבורו לכל נקודה \(p\in U\) קיימת סביבה \(W\subseteq U\) כך ש-\(\vec{F}\mid_{W}\) הוא שדה משמר, אלא שכך הגדיר אור בשיעור (כמובן שאלו הגדרות שקולות).
משפט 4.6. יהי \(\vec{F}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי, \(\vec{F}\) הוא שדה וקטורי משמר אם"ם קיימת פונקציה חלקה \(\phi:U\rightarrow\MKreal\) כך ש-\(\vec{F}=\nabla\phi\)16כלומר \(\vec{F}\left(x\right)=\nabla\phi\left(x\right)\) לכל \(x\in U\)..
מסקנה 4.7. יהי \(\vec{F}:U\rightarrow\MKreal^{n}\) שדה וקטורי משמר, לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}}
\]
משפט 4.8. יהי \(\vec{F}:U\rightarrow\MKreal\) שדה וקטורי המקיים (לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\)):\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}}
\]ותהיינה \(\gamma_{0},\gamma_{1}:\left[a,b\right]\rightarrow U\) מסילות הומוטופיות ב-\(U\) ביחס לנקודות קצה. מתקיים:\[
\intop_{\gamma_{0}}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}=\intop_{\gamma_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}
\]
מסקנה 4.9. יהי \(\vec{F}:U\rightarrow\MKreal\) שדה וקטורי המקיים (לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\)):\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}}
\]אם \(U\) היא קבוצה פשוטת קשר אז \(\vec{F}\) הוא שדה משמר, בפרט לכל נקודה \(p\in U\) קיימת סביבה \(W\subseteq U\) של \(p\) כך ש-\(\vec{F}\mid_{W}\) הוא שדה משמר.
5 הקוהומולגיה הראשונה
5.1 הגדרות
יש לכתוב פרק זה (תרגול3).
יש לכתוב פרק זה (תרגול3).